Calculo Integral: Integral definida

Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.

Concepto de integral definida: La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f(x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades de la integral definida 

La integral definida cumple las siguientes propiedades: 

• Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. 
• Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
• La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
• La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
• Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
• Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

Teorema fundamental del cálculo integral

La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F(x) cumple necesariamente que:

A partir del Teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f(x) en un intervalo [a, b], denominado Regla de Barrow:

• Se busca primero una función F (x) que verifique que la derivada de F(x) sea f(x).
• Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
• El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:

En los siguientes videos podrás ver varios ejemplos de cálculo de áreas utilizando las integrales y aplicando la Regla de Barrow. Intenta, como siempre, poner PAUSA e intentar resolver el problema que plantea.