En esta entrada, además de definir el concepto de derivada, intentaré mostrar su significado dejando para otra entrada del blog el cómo hallar las derivadas de las funciones más usuales (técnicas de derivación).
Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender la utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a continuación.
La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.
La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x0, y fue el matemático Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados.
En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales
Veamos lo que es la VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO:
Consideremos una función y=f(x).
Si la variable independiente x pasa de un valor "a" a un valor "b", entonces la variable dependiente y pasa de un valor "f(a)" a un valor "f(b)".
La diferencia "f(b) - f(a)" recibe el nombre de incremento de y, o también tasa de variación de la función en el intervalo [a,b].
Tasa de variación en [a,b] = f(b) - f(a)
¡Qué es la TASA DE VARIACIÓN MEDIA?
Ya hemos visto que la tasa de variación de una función da una primera idea de la rapidez con que crece (o decrece) en un intervalo, aunque no lo suficientemente precisa.
Así, para comparar el comportamiento de una función en dos o más intervalos, es mejor calcular el crecimiento medio en cada uno de ellos (o crecimiento por unidad).
Este crecimiento medio recibe el nombre de tasa de variación media (T.V.M.) de la función f(x) en el intervalo [a,b], y se obtiene como el cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo:
De este modo, la T.V.M. se expresaría según la expresión:
Aunque la variación media es importante, a veces lo es más la variación en un momento determinado.
Por ejemplo, a la policía de tráfico le importa más la velocidad de un vehículo al atravesar un determinado punto que su velocidad media por hora; esta velocidad puntual es, de hecho, una velocidad media entre dos puntos muy próximos; en la práctica es la que marca el velocímetro en un instante dado.
La tasa de variación instantánea (T.V.I.) en un punto a sería entonces la T.V.M. entre dos puntos "a" y "a+h" muy próximos. Se puede obtener tomando intervalos [a , a+h] cada vez más pequeños, o lo que es lo mismo, haciendo que h tienda a 0.
que sería la definición de la derivada.
Veamos algunos videos que explican la situación: En este te explican que son y para qué sirven...
En este vídeo se ofrece una introducción a la derivada muy intuitiva: a partir de la ley de los números impares de Galileo. Se analiza el salto que damos desde la velocidad media, a una expresión algebraica obtenida a partir del cálculo infinitesimal. Además, se repasa las diferentes maneras de expresar la derivada, y se concluye con un ejemplo aplicado a la distancia recorrida y la velocidad de un avión al despegar.
En este otro video, se insiste en qué es la derivada, empezando con una breve introducción histórica, planteando el problema geométrico que se resuelve con la definición de la derivada. Después hay una amplia explicación con la ayuda de la geometría analítica, de la ecuación de una recta, de la fórmula para encontrar la pendiente de una recta, y después con el cálculo de un límite, explicado en forma dinámica, con el programa de geometría dinámica Geogebra.
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