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Se acabó el curso 2016/2017


Otro año más llega el mes de junio y el fin de la actividad académica en nuestro Centro Educativo. Quiero felicitar a todo el alumnado que ha superado la materia y animar a todos aquellos que le queda pendiente de superarla en el mes de septiembre. Un ciclo escolar que termina, una página que llega a su fin; un peldaño más que subir.
La oportunidad comienza de nuevo; no es el fin, sólo es el inicio de tu porvenir.
Durante el verano, incluiré algunos enlaces y actividades de refuerzo y ampliación de los contenidos impartidos en todos los niveles educativos que he impartido.
A todos, aprobados y suspendidos, les deseo un excelente verano y un buen comienzo, con ganas y energías recuperadas, para comenzar un nuevo curso 2017/2018.

¡¡Más de 5000 visitas al Blog!!


Hemos pasado ya de las 5000 visitas al Blog, cantidad inesperada para mí. Muchas gracias a todo mi alumnado por la acogida que ha tenido el blog, esperando que les esté siendo de utilidad.
Deseo que sigan utilizándolo para preparase las próximas pruebas escritas finales. Hemos dividido, de forma consensuada en cada uno de los niveles educativos, los distintos contenidos que comprenden las dos partes en las que hemos dividido la materia de todo el curso.
Ahora es tiempo de organizarse y hacer un listado de todo lo impartido en clase, repasando y/o profundizando en los distintos procedimientos.
Mucha suerte al alumnado que los próximos días participarán en las Pruebas EBAU para entrar en la Universidad, y también, a todo mi alumnado en todas las materias que están estudiando.
Es necesario hacer un esfuerzo final. Seguro que se sentirán orgullosos del esfuerzo.

Acto de entrega de Orlas del Segundo de Bachillerato.


El pasado jueves, 18 de mayo, se celebró en el Paraninfo de la Universidad de Las Palmas el acto de entrega de orlas a todo el alumnado que culmina sus estudios de Segundo de Bachillerato en nuestro Instituto, y que estuvo perfectamente organizado por la Vicedirección, Don Adrien Rouby.
Fue un acto emotivo, presidido por la Directora del Centro, Dña. Mariel Arias y los tutores de los tres grupos de alumnos y alumnas.
Quiero agradecer a todo el alumnado de Segundo de Bachillerato, y a la organización del evento, el estupendo ramo de flores que me obsequiaron, de forma imprevista, y las estupendas palabras que me dedicaron. ¡Ah!... y, como no, la estupenda caja de bombones que el viernes repartí con todos mis compañeros profesores.
Muchas gracias por todo, de todo corazón.

Método de Ruffini para dividir algunos tipos de polinomios



El método de Ruffini fue descrito por el matemático, profesor y médico italiano Paolo Ruffini en el año 1804, el método o regla de Ruffini es un método que nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x+a) o (x-a).
En el siguiente enlace, podrás ver cómo se resuelven este tipo de divisiones de una forma muy sencilla. Para ello, "pica" AQUÍ.

Suma de "n" términos de una progresión aritmética y geométrica

Aunque ya lo hemos trabajado en clase, en este primer video podrás ver y aprender a realizar la suma de "n" términos seguidos en una progresión aritmética. No sólo se explica la expresión que se utiliza y cómo la usamos, sino que además tendrás un caso práctico.


Y, en este video siguiente podrás ver, paso a paso, cómo podemos realizar la suma de "n" términos de una progresión geométrica.






Calculo Integral: Integral definida

Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.

Concepto de integral definida: La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f(x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b.


La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades de la integral definida 
La integral definida cumple las siguientes propiedades: 
  • Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. 
  • Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
  • La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
  • La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
  • Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
  • Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):
Teorema fundamental del cálculo integral
La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F(x) cumple necesariamente que:
A partir del Teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f(x) en un intervalo [a, b], denominado Regla de Barrow:

  • Se busca primero una función F (x) que verifique que la derivada de F(x) sea f(x).
  • Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
  • El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:

En los siguientes videos podrás ver varios ejemplos de cálculo de áreas utilizando las integrales y aplicando la Regla de Barrow. Intenta, como siempre, poner PAUSA e intentar resolver el problema que plantea.








Inecuaciones


Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:
<

menor que, por ejemplo: 5x − 2 < 9


menor o igual que, por ejemplo: 12 ≤ 2x + 5
>
mayor que, por ejemplo: 4x + 3 (x - 1) > 9
mayor o igual que, por ejemplo: 2x +1 ≥ 7

Veamos el procedimiento de resolución de las Inecuaciones de primer grado con una incógnita: 

1º Quitar corchetes y paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en "x" a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.
4º Efectuar las operaciones


5º Si el coeficiente de la "x"  es negativo y va a pasar dividiendo, cambiaremos el sentido de la desigualdad (multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad).
6º Despejamos la incógnita.
7º Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.


Vamos a resolver una inecuación como un ejemplo:



Por lo tanto la solución son todos los números mayores o iguales que tres,que podríamos escribir como el intervalo cerrado a la izquierda y abierto a la derecha (al tratarse del infinito)
El procedimiento de resolución de las Inecuaciones de segundo grado con una incógnita lo veremos a través de los siguientes videos:


En el siguiente enlace tienes un material publicado por el Ministerio de Educación, que aborda todos los contenidos que veremos dentro del Tema de las Inecuaciones, en formato pdf, por lo que puedes guardarlo en tu ordenador. Puedes acceder a él, "picando" en la siguiente imagen.

Problemas de distintos contenidos para Segundo de Bachillerato


Hace unos días, los alumnos y alumnas del Segundo Curso de Bachillerato, se dispusieron en distintos grupos y se enfrentaron durante una hora a una colección diferente de problemas, de los distintos contenidos impartidos (estadística, álgebra, programación lineal y análisis).
En el siguiente enlace puedes descargarte los problemas de los demás grupos y les "regalo" también algunos más por si desean trabajarlos. Como siempre, las dudas las resolvemos en clase.
Accede "pinchando" AQUÍ.

El libro de la semana: Malditas Matemáticas - Alicia en el País de los Números


Cario Frabetti es italiano (Bolonia, 1945), pero vive en España y escribe habitualmente en castellano. Escritor y matemático, cultiva asiduamente la divulgación científica y la literatura infantil y juvenil. Ha publicado más de treinta libros, entre los que destacan El bosque de los grumos y los protagonizados por el enano Ulrico (La magia más poderosa, Ulrico y las puertas que hablan, Ulrico y la llave de oro). Ha sido galardonado con el Premio Jaén de Narrativa Juvenil por el libro titulado El gran juego, y fue finalista del mismo con El ángel terrible (todos ellos en Editorial Alfaguara). También ha creado, escrito y/o dirigido numerosos programas de televisión, como La bola de cristal, El duende del globo y Colorín Colorado.
Si quieres descargar el libro en formato pdf, "pica" AQUÍ.

Sucesiones de Números: Sucesión aritmética y Sucesión geométrica


A veces, los números, forman patrones interesantes. Aquí mostramos los más comunes y cómo se forman.



Sucesiones aritméticas: Una sucesión aritmética se construye sumando un valor fijo cada vez.


Ejemplos:
A)          1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos números consecutivos. Fíjate entonces que, el patrón se sigue sumando 3 al último número cada vez.

B)           3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos números consecutivos. El patrón, entonces, se sigue sumando 3 al último número cada vez.


Sucesiones geométricas: Una sucesión geométrica se construye multiplicando un valor fijo cada vez.
Ejemplos:
               A) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos números consecutivos. El patrón se sigue multiplicando el último número por 2 cada vez. 
B)          3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos números consecutivos. El patrón se sigue multiplicando el último número por 3 cada vez.

Estas dos sucesiones son las que estudiaremos este curso académico, pero hay muchos tipos de sucesiones, entre ellas destacamos:
Sucesiones especiales: Números triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...


Esta sucesión se genera con un patrón de puntos que forma un triángulo. Añadiendo otra fila de puntos y contando el total se encuentra el siguiente número de la sucesión.

Sucesiones especiales: Números cuadrados
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

Cada número se obtiene elevando su posición al cuadrado: El primer número es 1 al cuadrado (o 1x1); El segundo número es 2 al cuadrado (o 2×2)... El séptimo número es 7 al cuadrado (o 7×7), etc.

Sucesiones especiales: cúbicos

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

Cada número se obtiene elevando su posición al cubo: El primer número es 1 al cubo; El segundo número es 2 al cubo... El séptimo número es 7 al cubo, etc.


Sucesiones especiales: Números de Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Cada número se obtiene sumando los dos números delante de él: El 2 se calcula sumando los dos números delante de él (1+1); El 21 se calcula sumando los dos números delante de él (8+13)... El siguiente número de la sucesión sería 55 (21+34)
Te invito a que averigües y construyas la siguiente sucesión de números...
Y entonces, ¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.


Finita o infinita: Si la sucesión puedo seguir escribiéndola "para siempre", es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita

Ejemplos.

A) {1, 2, 3, 4, ...} es una sucesión muy simple, y es una sucesión infinita.

B) {20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita. Fíjate en el patrón: Empiezo en 20 y vamos sumando 5.

C) {1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares y es una sucesión finita.

D) {4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás. Sucesión finita.

E) {1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando, o multiplicando por dos, cada término.

F) {a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en orden alfabético. Sucesión finita.

G) {a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "Alfredo". Sucesión finita.

H) {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

En orden:
Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}

La regla: Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

¡Pero la regla debería ser una expresión matemática!...
Vamos a verlo en el siguiente video:


Ahora veamos algunas sucesiones especiales, que son las que trabajaremos en clase.

Sucesiones o Progresiones aritméticas

El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante. Es decir, una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
Ejemplos

A) 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos. 

La regla, o el término general, es an = 3n-2

B) 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos. 

La regla, o término general, es an = 5n-2

Veamos el siguiente video, para ver el procedimiento del cálculo del término general de una progresión aritmética:



Sucesiones o Progresiones geométricas

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo. Dicho de otro modo, en una progresión geométrica el cociente entre cada término y el término anterior es una constante r, que se llama razón de la progresión.

Ejemplos:
a) La sucesión: 

3,6,12,24,48,...
es una progresión geométrica de razón 2.
b) La sucesión:
0,0.1,0.01,0.001,...
es una progresión geométrica de razón 0.1.
c) La sucesión:
1,1/4,1/16,1/64,...
es una progresión geométrica de razón 1/4.

En el siguiente video podrás profundizar en las progresiones geométricas y ver cómo se calcula el término general de una progresión geométrica.






Tercero de la ESO: Material de repaso sobre rectas y parábolas


Es importante dominar los contenidos relativos a dos tipos de funciones, denominadas elementales, como son las rectas y las parábolas. Hemos trabajado en clase múltiples ejercicios en relación a este tema: Representación de rectas, representación de parábolas, puntos de corte de dos rectas, cálculo de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, puntos de corte de recta y parábolas,...
Aquí te dejo un material que trata todo lo aprendido, con ejercicios resueltos, por si tienes que aclarar dudas, y con muchos ejercicios propuestos que podrás trabajar en casa para reforzar lo aprendido, y, si tienes alguna duda en alguno de ellos, pregúntamelo de forma individual en clase.
Para acceder al documento "pica" AQUÍ.

Trigonometría: Aplicaciones


En los siguientes videos podrás ver cómo aplicamos, los conocimientos adquiridos de las distintas razones trigonométricas que se obtienen en un triángulo rectángulo, a la resolución de problemas.
Intenta resolverlos una vez planteados los distintos enunciados... si no lo intentas no lo logras...








Trigonometría: Razones Trigonométricas


La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Las razones trigonométricas de un ángulo están relacionadas entre sí. Para deducir esas relaciones basta tener en cuenta que en todo triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras .
Con estas relaciones, conocida una de las razones trigonométricas podremos calcular las otras de manera exacta.
Les ofrezco algunos videos:










Trigonometría: Historia y algunas definiciones



El origen de la palabra TRIGONOMETRÍA proviene del griego "trigonos" (triángulo) y "metría" (medida).
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides. Posteriormente se desarrolló más con el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las Matemáticas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos, pero esto no entra dentro de los contenidos... ¡¡mucho mejor para ustedes!!
Les propongo la visualización de un video sobre la historia de la trigonometría.


El Libro de la Semana: El Señor del Cero



En el siglo IV después de J.C., en una de esas afortunadas coincidencias de pensamiento con que nos sorprende tantas veces la historia, los sabios de dos pueblos muy alejados entre sí, los mayas y los hindúes, inventan un signo para el concepto del vacío, de la nada: el cero.
Los árabes, que llegaron en sus conquistas a la India en el siglo VIII, lo aprendieron de los hindúes, junto con sus números, y lo adoptaron a su alfabeto combinando el rigor y los conocimientos de los grandes matemáticos griegos con la facilidad de cálculo del sistema hindú. Así se convirtieron en los creadores de las matemáticas, tal como han llegado a nosotros, las divulgaron por todo el ámbito de su imperio y, a través de Córdoba, se conocieron en los monasterios cristianos y después en Europa, aunque no se aceptaron.

El gran poder cultural del Califato de Córdoba durante los siglos IX y X no se ha estudiado apenas y casi siempre se ha comprendido mal. La ciudad de Córdoba, convertida en capital y embellecida con jardines y fuentes, tuvo una población de 500000 habitantes, mientras las grandes ciudades de Europa no alcanzaban ni la décima parte. La tolerancia de los musulmanes, que dejaban practicar su culto tanto a los judíos como a los cristianos, atrajo a los sabios de todo el mundo y produjo una gran expansión cultural, amparada por la gran biblioteca de la ciudad y los centros de estudio de todas las ciudades del Califato. En ellos, hasta los muchachos sin dinero podían estudiar porque el califa destinaba la cuarta parte de sus ingresos personales a limosnas para los pobres y becas para los estudiantes inteligentes y sin recursos.

El Señor del Cero es la historia de un mozárabe (un cristiano que siguió viviendo en las tierras dominadas por los árabes sin renunciar a su religión), buen matemático, que recorre el camino que seguía la ciencia y la cultura que llegaba a Europa: de Córdoba a los monasterios del Norte, castellanos y leoneses, navarros y catalanes. En sus bibliotecas atesoraron, junto con las copias de la Biblia y los escritos de los Santos Padres, la valiosa cultura árabe, sus traducciones de los antiguos sabios griegos y latinos y sus libros de medicina y matemáticas. Desde allí se transmitieron a una Europa de pueblos todavía semibárbaros y que, en muchos lugares, adoraban a los dioses germánicos, y todavía no estaban muy preparados para comprenderla.

Para descargar el Libro, en formato pdf, "pincha" AQUÍ.

Función logarítmica




Las funciones logarítmicas son funciones del tipo:


Es la inversa de la función exponencial f(x) = ax

Las características generales de las funciones logarítmicas son:

1) El dominio de una función logarítmica son los números reales positivos: Dom(f) = (0. + ∞) .

2) Su recorrido es R: Im(f) = R .

3) Son funciones continuas.

4) Como loga1 = 0 , la función siempre pasa por el punto (1,0) . La función corta el eje X en el punto (1, 0) y no corta el eje Y.

5) Como loga = 1 , la función siempre pasa por el punto (a,1) .

6) Si a > 1 la función es creciente. Si 0 < a < 1 la función es decreciente.

Veamos en el siguiente video cómo podemos realizar la gráfica, en un ejemplo, de una función logarítmica.



Función Exponencial


Las funciones exponenciales son las funciones que tienen la variable independiente x en el exponente, es decir, son de la forma:

Las características generales de las funciones exponenciales son:
1) El dominio de una función exponencial es R.
2) Su recorrido es (0, +∞) .
3) Son funciones continuas.
4) Como a0 = 1 , la función siempre pasa por el punto (0, 1).
La función corta el eje Y en el punto (0, 1) y no corta el eje X.
5) Como a1 = a , la función siempre pasa por el punto (1, a).
6) Si a > 1 la función es creciente. Si 0 < a < 1 la función es decreciente.

Veamos como podemos representar una función exponencial:


El Libro de la Semana: El Club de la Hipotenusa



El Club de la Hipotenusa
Autor: Claudi Alsina
Estoy seguro que alguna vez, te has hecho, al menos una de estas preguntas...

¿Frecuentaba realmente Arquímedes la bañera? ¿Por qué los números fueron anteriores a las letras? ¿Quién se inventó el cero? ¿Por qué contar con los dedos supuso un gran avance para la humanidad? ¿Qué matemático griego murió de forma no precisamente plácida por culpa de una raíz cuadrada? ¿Quién fue la primera mujer matemática de la historia? ¿Quién fue el primer gran líder en utilizar la criptografía para cifrar mensajes a sus tropas? ¿Quién inventó el signo de la suma? ¿Por que la raíz cuadrada tiene esa extraña forma? ¿Por qué todos los barberos del siglo XVI eran además algebristas? ¿Resolvieron Euler y Descartes el mismo problema sin saber nada el uno del otro? ¿Cuáles han sido los cuatro grandes chascos matemáticos del siglo XX? ¿A qué se retaron cuando se conocieron Unamuno y Gaudí?, ¿Qué opinaban el uno del otro Charlie Chaplin y Einstein? ¿Qué matemáticas son aplicables a las relaciones sexuales? ¿Qué gran matemático español ganó el Nobel de literatura? ¿Qué matemático dijo “Para mí el infinito empieza a partir de mil pesetas”? ¿Cuántos cráteres lunares tienen nombre de matemático? ¿A qué genio de los números homenajea la manzana de Apple?... 

Un divertido paseo por la historia de las matemáticas a través de las anécdotas más jugosas y sorprendentes.
Descárgalo AQUÍ.

Derivada de una Función: Introducción


En esta entrada, además de definir el concepto de derivada, intentaré mostrar su significado dejando para otra entrada del blog el cómo hallar las derivadas de las funciones más usuales (técnicas de derivación).
Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender la utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a continuación.
La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.
La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x0, y fue el matemático Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados.
En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales

Veamos lo que es la VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
Consideremos una función y=f(x).
Si la variable independiente x pasa de un valor "a" a un valor "b", entonces la variable dependiente y pasa de un valor "f(a)" a un valor "f(b)". 


La diferencia "b - a" se llama incremento de x.

La diferencia "f(b) - f(a)" recibe el nombre de incremento de y, o también tasa de variación de la función en el intervalo [a,b]

Tasa de variación en [a,b] = f(b) - f(a) 

¡Qué es la TASA DE VARIACIÓN MEDIA?
Ya hemos visto que la tasa de variación de una función da una primera idea de la rapidez con que crece (o decrece) en un intervalo, aunque no lo suficientemente precisa. 

Así, para comparar el comportamiento de una función en dos o más intervalos, es mejor calcular el crecimiento medio en cada uno de ellos (o crecimiento por unidad).
Este crecimiento medio recibe el nombre de tasa de variación media (T.V.M.) de la función f(x) en el intervalo [a,b], y se obtiene como el cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo:



Ahora bien, si tenemos en cuenta que "b" es mayor que "a", el intervalo [a , b] se puede expresar como [a , a+h], siendo "h" un número real positivo, que representa la amplitud del intervalo.

De este modo, la T.V.M. se expresaría según la expresión:



Aunque la variación media es importante, a veces lo es más la variación en un momento determinado.
Por ejemplo, a la policía de tráfico le importa más la velocidad de un vehículo al atravesar un determinado punto que su velocidad media por hora; esta velocidad puntual es, de hecho, una velocidad media entre dos puntos muy próximos; en la práctica es la que marca el velocímetro en un instante dado.
La tasa de variación instantánea (T.V.I.) en un punto a sería entonces la T.V.M. entre dos puntos "a" y "a+h" muy próximos. Se puede obtener tomando intervalos [a , a+h] cada vez más pequeños, o lo que es lo mismo, haciendo que h tienda a 0.

que sería la definición de la derivada.

Veamos algunos videos que explican la situación: En este te explican que son y para qué sirven...


En este vídeo se ofrece una introducción a la derivada muy intuitiva: a partir de la ley de los números impares de Galileo. Se analiza el salto que damos desde la velocidad media, a una expresión algebraica obtenida a partir del cálculo infinitesimal. Además, se repasa las diferentes maneras de expresar la derivada, y se concluye con un ejemplo aplicado a la distancia recorrida y la velocidad de un avión al despegar.


En este otro video, se insiste en qué es la derivada, empezando con una breve introducción histórica, planteando el problema geométrico que se resuelve con la definición de la derivada. Después hay una amplia explicación con la ayuda de la geometría analítica, de la ecuación de una recta, de la fórmula para encontrar la pendiente de una recta, y después con el cálculo de un límite, explicado en forma dinámica, con el programa de geometría dinámica Geogebra.

Mas de 3500 visitas con Siete consejos para estudiar Matemáticas


Después de llevarse a cabo todas las Pruebas Escritas para la Segunda Evaluación que tendrá lugar a partir del próximo lunes, hemos pasado de las 3500 visitas al Blog. Muchos de ustedes lo han visitado y estoy encantado que les sea de utilidad.


Las Matemáticas son una asignatura que no deja indiferente a ningún estudiante. Algunos la aman y otros la odian; siendo este segundo grupo mucho más numeroso que el primero en la mayoría de las ocasiones. Sin embargo, muchos de los alumnos y alumnas que odian las matemáticas lo hacen porque no saben cómo estudiar matemáticas para obtener buenos resultados. 
Matemáticas es una de esas asignaturas en las que las horas de estudio no tienen una relación directa con la nota. Por mucho que hayas estudiado, si no eres capaz de solucionar el problema del examen, estás perdido. No obstante, existen algunas técnicas para aprender matemáticas que pueden hacer que, independientemente de tu nivel, le saques más partido a tu tiempo de estudio y aumentes tus probabilidades de éxito.
Todo el profesorado de matemáticas sabe que el alumnado, en muchas ocasiones, no sabe cómo estudiar Matemáticas, por eso te voy a presentar algunos consejos que te pueden ayudar y también te propongo un video que puede aclararte algunas cuestiones sobre el estudio de esta materia.
¡Hasta es posible que te acabes uniendo al grupo de amantes de las matemáticas! 

Aquí te van algunos consejos:

1. Práctica, Práctica y Más Práctica 
Es imposible aprender matemáticas leyendo y escuchando. Para aprender matemáticas hay que ponerse el mono de trabajo y lanzarse a hacer ejercicios matemáticos. Cuanto más practiques, mejor. Cada ejercicio tiene sus procedimientos de resolución y es importante haber realizado el máximo número de ejercicios posibles antes de enfrentarnos al examen. Este punto es el más importante de todos y la base del resto de técnicas para estudiar matemáticas de esta lista. 

2. Revisa los Errores 
Cuando estés practicando con ejercicios, es muy importante que compruebes los resultados y, más importante aún, que te detengas en la parte que has fallado y examines el proceso en detalle hasta asimilarlo. De nada sirve comparar resultados si no sabes en qué te has equivocado. Por eso es conveniente que tengas unos buenos apuntes con problemas resueltos. De esta manera, evitarás cometer los mismos fallos en el futuro. También es recomendable apuntar todos tus fallos y repasarlos repetidamente antes del examen. 

3. Domina los Conceptos Clave 
¡No intentes aprenderte los problemas de memoria! Los problemas matemáticos pueden tener miles de variantes y particularidades, por lo que es inútil aprendernos problemas de memoria sin entenderlos. Es cambio, es mucho más efectivo dominar los conceptos importantes y el proceso de resolución de los problemas.
Recuerda que las Matemáticas son una asignatura secuencial, por lo que es importante asentar una base firme dominando los conceptos clave y teniendo claras los procedimientos matemáticos esenciales. 

4. Consulta tus Dudas 
Puede que en muchas ocasiones te sientas atascado en una parte de un problema o que simplemente no entiendas el proceso. Lo común en estos casos es simplemente pasar de ese problema y pasar al siguiente. Sin embargo, es recomendable despejar todas las dudas que tengas en la resolución de un problema. 
Por tanto, puede ser buena idea estudiar junto a algún compañero con el que consultar dudas y trabajar juntos en problemas más complejos. O, mejor todavía, ¿por qué no visitas, más a menudo, el blog?... Sabes que en él puedes plantear tus dudas y trabajar colaborativamente? 
Asimismo, recuerda plantearle al profesor las dudas que tengas en la hora de clase. 

5. Crea un Ambiente de Estudio sin Distracciones 
Las Matemáticas son una asignatura que requiere más concentración que ninguna otra. Un ambiente de estudio adecuado y libre de distracciones puede ser el factor determinante para conseguir resolver ecuaciones o problemas de geometría, álgebra o trigonometría complejos. Si te gusta estudiar con música, puede ser una buena idea escucharla de fondo para relajarte y favorecer un ambiente de máxima concentración. Eso sí, deja de lado Pitbull y Eminem, la música instrumental/clásica es lo más recomendable en estas ocasiones. 

6. Crea un Diccionario Matemático 
La asignatura de matemáticas tiene una jerga específica con mucho vocabulario propio. Te sugerimos que crees unas fichas de estudio con todos los conceptos que vas aprendiendo y su significado, para que puedas consultarlos en cualquier momento y no te sientas perdido entre tanta palabrería. 

7. Aplica Problemas al Mundo Real 
En la medida de lo posible, intenta aplicar los ejercicios al mundo real. Las matemáticas pueden ser una materia muy abstracta en algunas ocasiones, por lo que mirar su aplicación práctica puede ayudarte a cambiar tu perspectiva sobre ella y asimilarla de manera diferente. 

Si aplicas todos estos consejos sobre cómo estudiar matemáticas, tendrás muchas probabilidades de mejorar tus notas de acceso o notas finales. Ah, y no olvides que es importante también tener confianza en uno mismo y afrontar el examen sabiendo que te has preparado adecuadamente.



¡¡¡Aprovecha el tiempo y te sentirás mejor!!!